Pandas y teteras espaciales: Por qué afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias

Hay una frase popularizada por Carl Sagan (aunque existen formulaciones más o menos parecidas desde, por lo menos, el siglo XVIII) que aparece con frecuencia en discusiones científicas y pseudocientíficas: «afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias». La frase parece razonable, pero ¿qué significa exactamente? ¿Qué hace que una afirmación sea «extraordinaria»? ¿Y por qué deberíamos exigir más pruebas para unas afirmaciones que para otras?

En realidad, no hay nada particularmente misterioso en este principio. Es algo que todos aplicamos continuamente en nuestra vida cotidiana, aunque normalmente no hagamos las cuentas. Veámoslo con el siguiente ejemplo.

Supongamos que un amigo viene a visitarme y, al llegar, me dice:

—Viniendo hacia aquí me crucé con un gato por la calle.

Probablemente aceptaré su afirmación sin pensarlo demasiado. No le pediré una fotografía del gato, ni buscaré grabaciones de las cámaras de seguridad, ni exigiré el testimonio independiente de otros transeúntes. Su palabra me basta.

Ahora imaginemos que me dice:

—Viniendo hacia aquí me crucé con un oso panda por la calle.

Mi reacción será bastante diferente. Seguramente empezaré preguntándole si habla en serio. Quizá piense que está haciendo una broma, que ha confundido algún animal con un panda o, dependiendo del amigo, que me está tomando el pelo. Si insiste, probablemente le preguntaré si hizo una foto. Y si continúa tratando de convencerme de que realmente vio un panda caminando tranquilamente por la calle, empezaré a exigir pruebas.

Lo curioso es que el testigo es exactamente el mismo en ambos casos. Si antes consideraba que mi amigo era una persona honrada, no tengo ninguna razón para pensar de repente que haya dejado de serlo. Pero el hecho es que su simple testimonio me parecía perfectamente suficiente para el gato y totalmente insuficiente para el panda. ¿Por qué?

Porque yo no nací ayer. Tengo una enorme cantidad de información acumulada sobre el mundo y las afirmaciones de mi amigo pasan por el tamiz de esa experiencia. Si no supiera absolutamente nada sobre la realidad, más allá de que mi amigo es una persona cuyo testimonio considero fiable, entonces ambas afirmaciones, gato o panda, serían equivalentes para mí y las tomaría ambas como igualmente plausibles. Pero no es así. Sé que hay gatos por todas partes. Sé también que los pandas son animales muy escasos y que, fuera de unos pocos lugares muy concretos, encontrarse uno caminando por la calle es extraordinariamente improbable.

Para poner simplemente órdenes de magnitud a esa intuición, se estima que existen alrededor de 600 millones de gatos domésticos en el mundo, mientras que la población conocida de pandas gigantes en estado salvaje es de unos 1.800 individuos, concentrados además en una pequeña región de China (la comparación no debe tomarse como un cálculo literal de la probabilidad de encontrar cada animal por la calle, para eso habría que considerar distribución geográfica, cautividad, hábitos, etc, pero ilustra bien la enorme diferencia de partida). Y esa diferencia es precisamente lo importante. Tengo información a priori.

Matemática de Bayes

Esta forma intuitiva de razonar se ve reflejada también en cómo hacemos ciencia. Cuando queremos contrastar cuánto de plausibles son nuestras hipótesis en función de los datos disponibles, recurrimos al teorema de Bayes. Veamos cómo aplicarlo a nuestro ejemplo anterior.

Queremos contrastar cuánto de probable es la hipótesis de que mi amigo realmente vio un oso panda (llamémosla $H_P$, por hipótesis panda) frente a la hipótesis de que mi amigo se ha equivocado y en realidad no había ningún panda (llamémosla $H_{NP}$, hipótesis no-panda).

Vamos a denotar por $D$ (datos) al testimonio de mi amigo afirmando haber visto un panda. La fiabilidad de nuestro amigo como testigo entra en lo que se llama la verosimilitud, que es cuánto de probable es que emita un juicio acertado o equivocado. Técnicamente decimos que es la probabilidad de $D$ condicionada a $H_P$ o $H_{NP}$, y se denotan como:

$$\boxed{P(D\mid H_P)}$$

y

$$\boxed{P(D\mid H_{NP})}$$

El teorema de Bayes nos dice cómo obtener la probabilidad que buscamos, que es $P(H_P\mid D)$ y no es más que la probabilidad de la hipótesis panda condicionada por los datos $D$:

$$\boxed{ P(H_P\mid D)\propto P(D\mid H_P)\,P(H_P) }$$

Recordemos que $P(D\mid H_P)$ es la fiabilidad de mi amigo (la probabilidad de que acierte). Nuestro amigo es muy fiable, por eso tenemos mucha confianza en él. Digamos que acierta el 99% de las veces. Pero también es humano y a veces se equivoca, digamos que en el 1% de los casos. Así pues,

$$\boxed{ P(D\mid H_P)=0.99 }$$

y

$$\boxed{ P(D\mid H_{NP})=0.01 }$$

El otro término, $P(H_P)$, es lo que se llama el prior. Representa la probabilidad de la hipótesis antes de tener los datos (por eso no aparece $D$ en ese factor). Y aquí es donde está la clave, el “yo no nací ayer” va incorporado en este factor.

Podemos combinar el conocimiento que tenemos sobre pandas y no-pandas simplemente dividiendo las probabilidades. Así:

$$\boxed{ \frac{P(H_P\mid D)} {P(H_{NP}\mid D)} = \frac{P(D\mid H_P)} {P(D\mid H_{NP})} \, \frac{P(H_P)} {P(H_{NP})} }$$

A la izquierda del igual tenemos el cociente entre las probabilidades de las dos hipótesis una vez que hemos recibido los datos. Nos dice cuánto de probables son las dos hipótesis cuando consideramos los datos, en este caso el testimonio de nuestro amigo. Eso es justamente lo que queremos averiguar: cuál es la probabilidad de que mi amigo realmente haya visto un panda.

A la derecha del signo igual tenemos dos términos. El primero de ellos es la fiabilidad de nuestro amigo. Como dijimos antes, nuestro amigo acierta el 99% de las veces así que ese término es igual a:

$$\boxed{ \frac{0.99}{0.01}=99 }$$

A la derecha del todo tenemos el término de los priors. Aquí es donde ponemos la información de nuestro conocimiento previo, el que teníamos antes de recibir los datos. Como sabemos, vivimos en el planeta Tierra donde el número de gatos es del orden de un millón de veces mayor que el de pandas. Por tanto, de forma conservadora podemos asignar un valor de un millón a ese factor. Aquí cada uno podría darle un valor diferente. Todos tenemos diferentes experiencias del mundo y diferentes conocimientos previos. Pero no creo que ninguna persona cuerda pusiera aquí mucho menos que un millón a favor de no-panda. Recordemos que esto es la probabilidad antes de que nuestro amigo nos haya dicho nada. Tenemos que imaginarnos cómo responderíamos a la pregunta si alguien nos preguntara la probabilidad de que nuestro amigo haya visto un panda antes de saber nada de él.

Pues bien, poniendo los números:

$$\boxed{ \frac{P(H_P\mid D)} {P(H_{NP}\mid D)} = 99\times\frac{1}{1\,000\,000} }$$

Por tanto,

$$\boxed{ \frac{P(H_P\mid D)} {P(H_{NP}\mid D)} \simeq 9.9\times10^{-5} }$$

O, dicho al revés:

$$\boxed{ \frac{P(H_{NP}\mid D)} {P(H_P\mid D)} \simeq 10\,000 }$$

El resultado sigue siendo del orden de 10.000 a favor de la hipótesis no-panda, y eso que pusimos un prior muy conservador. El testimonio de mi amigo ha cambiado mi percepción sobre las probabilidades de encontrar pandas por la calle, pero no lo suficiente como para que pueda creérmelo.

¿Qué es entonces una prueba «extraordinaria»?

«Prueba extraordinaria» no significa una prueba exótica, espectacular o procedente de algún instrumento especialmente sofisticado. Significa una evidencia que produzca una razón de verosimilitudes suficientemente grande como para compensar el conocimiento a priori que le otorga probabilidades extremadamente pequeñas.

Si antes de recibir los datos una hipótesis tiene una probabilidad de una entre un millón, para llevarla siquiera hasta aproximadamente el 50% necesitamos evidencia con una razón de verosimilitudes del orden de un millón.

Eso es todo.

Una afirmación extraordinaria es, en este sentido, una afirmación con una probabilidad a priori extraordinariamente baja, teniendo en cuenta nuestro conocimiento existente. Y una prueba extraordinaria es aquella capaz de vencer ese enorme hándicap inicial. Ojo, esto no significa que uno esté sesgado de forma irracional y se niegue a aceptar nueva evidencia. Significa que no nacimos ayer, que hemos acumulado ya un cierto conocimiento, y que hay algunas cosas que sí sabemos que son extremadamente infrecuentes (volvemos al ejemplo de los pandas por la calle).

Por supuesto, no tiene por qué tratarse de una única prueba portentosa. Muchas evidencias moderadamente fuertes e independientes pueden acumularse. Si tres observaciones independientes aportaran cada una un factor de 100 en favor de una hipótesis, el factor conjunto sería de un millón:

$$\boxed{ 100\times100\times100=1\,000\,000 }$$

La ciencia funciona continuamente de esta manera. Las hipótesis inicialmente implausibles no están prohibidas ni pueden descartarse por decreto. Simplemente tienen que acumular suficiente evidencia como para demostrar su validez.

Y, si los datos son suficientemente buenos, la superarán.

Ese último punto es importante porque «afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias» se utiliza a veces de una forma incorrecta, como una especie de barrera destinada a proteger ideas establecidas frente a cualquier novedad. No significa eso. Una probabilidad a priori pequeña no es una probabilidad cero. Bayes permite que una hipótesis inicialmente muy improbable termine convirtiéndose en prácticamente segura si aparecen datos suficientemente contundentes. De hecho, sería bastante poco científico hacer lo contrario.

La tetera de Russell

En 1952, el filósofo y matemático Bertrand Russell planteó aproximadamente el siguiente argumento (Humanist Heritage). Imaginemos que alguien afirma que existe una pequeña tetera de porcelana orbitando alrededor del Sol entre la Tierra y Marte, pero que es demasiado pequeña para ser observada por nuestros telescopios. No podríamos demostrar que la tetera no existe. Pero sería absurdo concluir de nuestra incapacidad para refutarla que debemos considerar razonable su existencia.

Aquí aparece de nuevo una confusión bastante habitual: «no puedo demostrar que sea falso» no significa «ambas posibilidades son igualmente probables». No tengo una observación que descarte absolutamente la tetera de Russell. Pero tampoco nací ayer.

Sé muchas cosas sobre las teteras. Sé que son objetos fabricados por seres humanos. Sé aproximadamente dónde se fabrican y para qué se utilizan. Sé también bastantes cosas sobre los objetos que hemos enviado a órbitas heliocéntricas. Toda esa información forma parte del conocimiento previo con el que evalúo la hipótesis. Por eso mi prior para una tetera orbitando espontáneamente alrededor del Sol es extraordinariamente pequeño.

Pero imaginemos ahora una historia ligeramente diferente.

En febrero de 2018 SpaceX lanzó por primera vez su cohete Falcon Heavy. Como carga de prueba utilizó un Tesla Roadster rojo, con un maniquí vestido de astronauta —Starman— sentado al volante. La etapa superior terminó enviando el coche a una órbita heliocéntrica que llega incluso más allá de la órbita de Marte.

Imaginemos que, antes del lanzamiento, SpaceX hubiera anunciado públicamente que Starman llevaría una tetera de porcelana en la mano. Años después alguien me pregunta:

—¿Crees que puede haber una tetera orbitando alrededor del Sol por la región entre las órbitas terrestre y marciana?

Mi respuesta sería ahora muy diferente. Ya no estaría tan rotundamente seguro de que las teteras espaciales no existen. Quizá no sepa si la tetera sigue unida al coche. Quizá no sepa si se desprendió durante el lanzamiento o posteriormente. Quizá desconozca por completo su trayectoria actual. No tengo ninguna fotografía reciente de ella y no la he observado con un telescopio. Pero ya no consideraría absurda su existencia.

¿Qué ha cambiado?

No las leyes de la física. Tampoco mi capacidad actual para observar la tetera.

Ha cambiado mi información previa.

En terminología estrictamente bayesiana, saber que una tetera fue lanzada al espacio también es evidencia. Pero una vez incorporada esa información a nuestro conocimiento, pasa a formar parte de las condiciones de fondo sobre las que establecemos el prior antes de recibir nuevos datos.

La diferencia entre las dos teteras no está en que una sea falsable y la otra no. Está en que nuestro conocimiento acumulado del mundo hace que sus probabilidades previas sean radicalmente diferentes. Tenemos priors diferentes. Y esto muestra también por qué la completa ignorancia no implica una probabilidad del 50%.

Si yo hubiera nacido hace cinco minutos sin saber absolutamente nada sobre teteras, planetas o cohetes, probablemente no tendría fundamentos para asignar una probabilidad bien informada a la existencia de una tetera espacial. Pero de ahí no se sigue que deba asignar un 50% a que exista y un 50% a que no exista. Ignorar algo no hace que todas las posibilidades sean equiprobables.

No nacimos ayer

En realidad, esa es quizá la idea esencial de todo este asunto.

Nunca analizamos una afirmación en el vacío. Lo hacemos sobre una enorme montaña de conocimiento acumulado: nuestra experiencia personal, observaciones anteriores, experimentos, teorías científicas contrastadas y todo lo que la humanidad ha aprendido hasta ese momento. A ese conocimiento previo lo llamamos prior cuando formalizamos el problema bayesianamente.

Si alguien me dice que vio un gato, su testimonio encaja bien con todo lo demás que sé sobre el mundo. Una pequeña cantidad de evidencia adicional es suficiente. Si me dice que vio un panda, el mismo testimonio tiene que luchar contra una probabilidad previa mucho menor.

Y si me dice que vio un dragón de veinte metros volando sobre la ciudad, mi escepticismo será todavía mayor. No porque esté dogmáticamente empeñado en que los dragones no existen, sino porque esa hipótesis entra en conflicto con una cantidad enorme de conocimiento previo y existen explicaciones alternativas muchísimo más probables: una broma, un engaño, una alucinación, un montaje, un objeto mal identificado o simplemente una mentira.

Por supuesto, podría existir el dragón.

Pero entonces quiero verlo.

(Y aun así necesitaría más evidencia)

Nota: En la redacción de este artículo se ha usado IA generativa