¿Se conserva la energía en el Universo? Respuesta simple a una pregunta compleja

La pregunta y el problema

Voy a intentar dar una respuesta simple a una pregunta compleja. ¿Se conserva la energía en el Universo? De paso, trataremos algunas ideas sobre simetrías en física y leyes de conservación, que quizá resulten interesantes para el lector que no esté familiarizado con ellas. En cualquier curso de física aprendemos que, en un sistema cerrado, la energía no se crea ni se destruye. Se puede transformar pero la suma total siempre se conserva. Si aumenta en un sitio es porque disminuye de otro, exactamente en la misma cantidad. El Universo es un sistema cerrado, por definición, así que según esta norma su energía total debería conservarse. Pero entonces, uno se podría preguntar, ¿de dónde sale la energía que hay ahora? ¿Ha existido siempre? El asunto se vuelve aun más perturbador si consideramos el reciente descubrimiento de la expansión acelerada y el postulado de la energía oscura. Lo extraño es que esta energía mantiene una densidad constante a pesar de que el Universo está en expansión. Esto significa que cada vez hay más y más energía oscura. ¿De dónde sale esta energía?

¿Se conserva la energía en el Universo? La pregunta es compleja. Lo digo en el sentido más literal, no como la habitual abreviación de "la pregunta tiene una respuesta compleja". La propia pregunta en sí ya es difícil de interpretar porque tendríamos que empezar por definir qué entendemos por energía, algo que no es para nada trivial. En relatividad general, el tensor energía-esfuerzo es un objeto bien definido localmente que nos permite entender cómo se curva el espacio-tiempo. Sin embargo, no está bien definido a nivel global en el sentido de que, si quisiéramos sumar su valor integrado sobre todo el Universo, obtenemos que la respuesta depende del sistema de coordenadas en que trabajamos. La definición funcionaría en algunos casos particulares, como un espacio-tiempo que se hace plano cuando nos alejamos mucho (lo que se dice un espacio asintóticamente minkowskiano), pero no en general.

En lugar de intentar calcular la energía total del Universo (algo que sería complicadísimo) para ver si se conserva, vamos a hacer otra cosa. Voy a aventurar que la respuesta es "no" (¡spoiler!) y tratar de demostrarlo. Para ello vamos a trabajar en un marco clásico lo más sencillo posible. Consideraremos el Universo en una concepción laplaciana, como una colección inimaginablemente grande de partículas que interactúan entre sí mediante fuerzas fundamentales. Estas fuerzas son de tipo newtoniano, aunque no necesariamente restringidas a la gravedad. El argumento se aplica a todas las fuerzas fundamentales, como veremos. Escribiremos entonces el lagrangiano de este sistema y estudiaremos sus propiedades. Pero antes de hacerlo, vamos a discutir algunas de las objeciones que se pueden poner a este marco de trabajo:

• La gravedad newtoniana es solo una aproximación. Cierto pero, así como para demostrar una afirmación hay que verificar que se cumple siempre, para refutar algo basta con encontrar un contraejemplo. La gravedad newtoniana es un caso particular de la relatividad general en el límite en que la curvatura del espacio-tiempo es pequeña. Por tanto, si la energía no se conserva en el límite de gravedad newtoniana podemos decir que no se conserva en general.
• La mecánica lagrangiana es una aproximación para sistemas conservativos y no funciona con fuerzas disipativas. Las fuerzas elementales de la naturaleza, al menos tal y como las conocemos, son conservativas. Esto quiere decir que se pueden expresar como derivadas de un potencial, bien sea escalar o vectorial. La disipación de energía, por ejemplo en forma del calor producido por el rozamiento, es el resultado macroscópico de una enorme cantidad de grados de libertad microscópicos interactuando entre sí, demasiado numerosos como para llevar cuenta de todos ellos pormenorizadamente. Yendo al detalle microscópico, el rozamiento es el resultado final de interacciones electromagnéticas entre átomos y moléculas de dos superficies que acaban transformando energía cinética del movimiento coherente macroscópico de esos objetos a movimientos individuales incoherentes de sus átomos y moléculas. Mientras sigamos manteniendo todos los grados de libertad microscópicos de las partículas individuales, la descripción lagrangiana sigue siendo válida (al menos fuera del régimen cuántico).
• Este tratamiento no considera los efectos de la mecánica cuántica. Cierto pero si conseguimos demostrar que el universo clásico no conserva la energía, se hace difícil imaginar que los procesos cuánticos, que típicamente son relevantes a muy pequeñas escalas, vayan a compensar exactamente esa violación de conservación.

Retrato de Joseph Louise Lagrange
Fuente: Wikipedia (autor desconocido)

Simetrías y leyes de conservación

Esta sección puede resultar algo técnica para el lector que no tenga formación en física o matemáticas pero es importante para la explicación que sigue. Lamentablemente esta plataforma de blogging no está diseñada para mostrar ecuaciones, razón por la que veremos cambios un poco extraños en el tamaño de los símbolos. Pido disculpas por ello. En cualquier caso, vamos con lo importante. El lagrangiano de un sistema es la suma sobre todas sus partículas de la energía cinética menos la potencial de cada partícula. En cada caso, la energía potencial es, a su vez, la suma de las asociadas a cada una de las fuerzas que actúan sobre el sistema:

donde K y V son energía cinética y potencial. La suma en i es sobre todas las partículas del Universo y en α es sobre las tres coordenadas espaciales x, y, z. Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen la evolución de un sistema lagrangiano:

Es importante explicitar la dependencia del lagrangiano en las coordenadas  y velocidades  de las partículas. 

En esta ecuación imponemos que la energía cinética K depende solamente de la velocidad de las partículas pero no de su posición. Hemos desarrollado el potencial que siente cada partícula como el producido por todas las demás partículas del Universo (de ahí el sumatorio en j) y lo hemos descompuesto en dos tipos de fuerzas fundamentales. El primer tipo son fuerzas centrales (que solo dependen de la distancia d entre i y j), como pueden ser la fuerza gravitatoria o la eléctrica. Por otra parte, tenemos la fuerza magnética que no solo depende de la distancia d sino también de la velocidad de las partículas.

Retrato de Emmy Noether
Fuente: Wikipedia (autor desconocido)

Este que hemos escrito arriba sería el lagrangiano de un universo con las leyes de la física clásica en el que no hubiera evolución cosmológica. Los lagrangianos (y sus sobrinos, los hamiltonianos) son muy importantes porque nos permiten derivar la evolución de un sistema mediante un principio variacional, el "principio de mínima acción", que puede ser muy útil en algunas situaciones. Pero no es ese nuestro interés aquí, al menos no directamente. Lo que vamos a hacer es echar mano de uno de los teoremas más elegantes de la física. Fue demostrado en 1915 por la matemática alemana Emmy Noether y relaciona las simetrías con las leyes de conservación. Adaptándolo un poco a nuestro caso viene a decir que por cada simetría del lagrangiano de un sistema físico, existe una cantidad que se conserva. Y además nos permite determinar exactamente cuál es esa cantidad. En realidad el teorema se refiere a la acción pero podemos obviar ese detalle. Veamos qué quiere decir el teorema, qué son esas simetrías y qué cosas se conservan.

Una simetría es cualquier transformación de coordenadas que podamos hacer sobre el sistema (un movimiento, por así decir) y que deje invariante el lagrangiano. Por ejemplo, supongamos que hacemos un cambio de coordenadas que represente un desplazamiento. Por centrar ideas, ¿qué pasaría si cogemos el Universo entero y lo movemos diez metros a la derecha? O, en matemático '=  + 10. Intuitivamente, uno puede imaginar que semejante desplazamiento no tendría absolutamente ningún efecto medible. Pero las intuiciones pueden ser engañosas, conviene verificarlas con las matemáticas. Si miramos la expresión del lagrangiano que escribimos antes, vemos que las coordenadas no aparecen directamente en la expresión. Solamente aparecen las velocidades y las distancias entre partículas. Por tanto, un desplazamiento global es una simetría del sistema y podemos invocar la magia del teorema de Noether para obtener una ley de conservación. Para ello tenemos primero que expresar la transformación de esta forma:

En nuestro ejemplo, podemos ver que 𝚫 valdría 10 y las funciones f(x) son constantes que valen 1 para todo i (todas las partículas) y α=1 (coordenada x, que es en la que se produce el desplazamiento), mientras que valen 0 para todo i (todas las partículas) y α=2 o 3 (coordenadas y, z, que no sufren desplazamiento). Es sencillo verificar que, con estas definiciones, todas las partículas sufren un desplazamiento de 10 unidades a lo largo de la coordenada x, como requiere la transformación propuesta. Pues bien, el teorema de Noether nos dice que la cantidad conservada asociada a una simetría es:

donde p es la derivada del lagrangiano con respecto a la velocidad. En nuestro caso, la transformación (dictada por las funciones f(x)) es tal que nos queda directamente la suma de la componente de p en la dirección x:

De la expresión del lagrangiano podemos ver que los únicos términos que dependen de la velocidad son la energía cinética y la energía potencial magnética. En ausencia de campo magnético (por movernos en terrenos más familiares), p es simplemente la derivada respecto a la velocidad de la energía cinética de una partícula, o sea, su momento lineal. Vemos entonces que la simetría del sistema frente a desplazamientos en el eje x nos lleva a la conservación de la componente x del momento lineal, eso sí, en ausencia de campo magnético.

Siguiendo exactamente el mismo proceso, la simetría con respecto a una traslación en el eje y nos lleva a la conservación del momento lineal a lo largo de y. Y lo mismo con el eje z. Podemos continuar este juego buscando otras simetrías. Un poco más farragosa, pero igual de simple, es la simetría de rotación. ¿Qué pasaría si cogemos todo el Universo y lo giramos un cierto ángulo en una determinada dirección? De nuevo, la intuición nos dice que no notaríamos nada, ya que la física solo es sensible a velocidades y distancias entre partículas. Nuestro lagrangiano también tiene simetría respecto a rotaciones y, en virtud del teorema de Noether, podemos encontrar una nueva ley de conservación para esa transformación. En este caso nos encontramos con que las cantidades conservadas son las tres componentes del momento angular.

Y por fin llegamos a la pregunta que seguramente muchos se estarán haciendo desde hace varios párrafos. ¿Qué tiene todo esto que ver con la energía del Universo? Pues resulta que mucho porque una de las simetrías más interesantes es la invariancia respecto a traslaciones en el tiempo. Si el lagrangiano no tiene una dependencia explícita con el tiempo, como es el caso de nuestro ejemplo arriba, entonces hay una cantidad que se conserva y viene dada por:

Esta cantidad es justamente la cosa que llamamos "energía" en un sistema de partículas (si algún físico está leyendo estas líneas quizás prefiera referirse a ella como el Hamiltoniano pero eso es otra historia y deberá ser contada en otra ocasión). Así pues, la conclusión de esta sección es que el teorema de Noether nos dice qué es la energía en el sentido clásico. Es la cantidad que se conserva en un sistema cuyo lagrangiano no depende del tiempo (no depende explícitamente, se entiende).

Un universo en expansión

En el apartado anterior hemos podido dar un significado al concepto de energía como cantidad que se conserva en un sistema que cumple ciertas propiedades de simetría respecto a traslaciones temporales. Sin embargo, recordemos que ese desarrollo estaba limitado a un universo que no cambia con el tiempo. El universo real es más complicado. Está en expansión y además últimamente sabemos que esa expansión se está acelerando. ¿Podemos incluir la expansión cósmica en nuestro análisis lagrangiano? Sí pero va a requerir un pequeño truco, un cambio de coordenadas.

La mejor forma de entender la expansión el Universo es asumir que es el propio espacio el que se expande según va pasando el tiempo. Si un determinado punto tiene unas coordenadas x en un determinado instante de referencia, en otro instante cualquiera sus coordenadas serán a(t)x. El parámetro a es el que nos dice cómo se expande el espacio y es función del tiempo. Habitualmente se llama el "factor de escala" y se define tal que en el momento presente vale exactamente 1. En un universo que se expande a un ritmo constante, a sería proporcional a t. Pero el ritmo también podría ser variable, como en el caso actual de una expansión acelerada, y entonces a sería una función más compleja de t. Vamos a hacer una transformación a un nuevo conjunto de coordenadas q que siguen a la expansión del Universo. Esta coordenadas se usan habitualmente en cosmología y se denominan "coordenadas comóviles". La idea es que cada punto del espacio mantiene el mismo valor de q aunque su x vaya cambiando según se expande el Universo. Para ello definimos:

Es decir, un punto que ahora mismo se encuentra en x=1 estará también en q=1. Cuando el universo se haya expandido hasta que el factor de escala valga a=2, entonces ese punto tendrá x=2 pero en coordenadas comóviles seguirá en q=1. Podemos imaginar que la cuadrícula de las coordenadas comóviles se expande con el Universo de manera que cada punto mantiene sus coordenadas en q.

De la definición de las coordenadas comóviles podemos obtener también sus velocidades:

Aunque sea un poco inconsistente con el resto de la notación, vamos a mantener explícita la dependencia de a con el tiempo, que nos vendrá bien más adelante. Insertando estas dos definiciones y desarrollando unas pocas derivadas en cadena, podemos cambiar las variables en las ecuaciones de Euler-Lagrange que escribimos en la sección anterior para expresarlas en estas nuevas coordenadas q.

Estas ecuaciones son formalmente idénticas a las que teníamos antes para x si definimos un lagrangiano effectivo L'  tal que:

Ahora podemos ver el interés en dejar explícita la dependecia temporal de a. Al contrario que en la anterior sección, este nuevo lagrangiano L' depende explícitamente del tiempo. Esto significa que ya no tenemos la simetría de traslación temporal. Por tanto no existe conservación de la energía como en el caso anterior. En este contexto, un resultado interesante de la mecánica clásica es que:

Es decir, la variación de energía en un sistema es igual a menos la variación explícita del langrangiano. La última igualdad se obtiene sustituyendo nuestros resultados y nos dice que, efectivamente, la energía total del Universo varía cuando existe una expansión cosmológica.

Conclusiones

Hemos visto que el concepto de energía, como cantidad que se conserva al pasar el tiempo en un sistema cerrado independientemente de los procesos que ocurran en su interior, solo tiene sentido en un universo que no evoluciona con el tiempo. El desarrollo está hecho dentro del marco de la mecánica clásica y es suficientemente general como para incluir todas las fuerzas fundamentales en el límite clásico y con la gravedad newtoniana. Al ser una caso particular de la gravedad de Einstein (el límite de campo débil), la no conservación de la energía en este caso implica que no puede ser una propiedad general de la teoría.

El hecho de que la energía no se conserve en el Universo resuelve las preguntas planteadas al principio de este artículo pero a su vez plantea otras, incluso puede generar cierta zozobra existencial. Dejamos para otro ámbito las implicaciones metafísicas de la posibilidad de que el Universo pueda crear o destruir energía, que sin duda son también profundas.

¿Podría existir otra cantidad, dentro del marco de la relatividad general o de otra teoría más general, que cumpla las funciones de la energía y sí se conserve a lo largo de la vida del Universo? Es posible pero no sería la cantidad que intuitivamente entendemos por energía, que es la que utilizamos en la mecánica clásica.

Es bastante posible (diría que hasta probable) que me haya equivocado en alguna parte del desarrollo. Es incluso posible que todo el argumento planteado esté mal. Si el lector encuentra algún error, agradeceré me lo haga saber, por ejemplo dejando un comentario.


Gracias a Juan Betancort, Alberto Aparici y Jose Alberto Rubiño por leer y comentar sobre un borrador de este artículo